L'orthoténie théorisée Pour être prise au sérieux, l'orthoténie devait prendre une apparence scientifique, et être définie avec précision. Un alignement de lieux d'observation d'OVNI? Mais un alignement, c'est quoi? Sur une feuille de papier, c'est une droite. Mais sur la surface terrestre? En fait c'est alors une géodésique. Sur une sphère parfaite, une géodésique est tout simplement un grand cercle. Mais sur un ellipsoïde, ce n'est plus une courbe fermée. Mais, de toutes façons, à l'exception des alignements psycholoqiues, qui prennent un malin plaisir à ètre quasi-rigoureux, les alignements sont toujours approximatifs. Par conséquent, à l'échelle du territoire français, on peut se contenter d'une approximation et utiliser tout de même un grand cercle. Maintenant, puisqu'approximation il y a, comment définir l'erreur admissible? On peut se contenter de déterminer une distance maximum au grand cercle, ce qui définirait un "couloir". Mais alors la largeur de ce couloir doit être deux fois la distance maximum, car le point étudié peut être d'un coté, ou de l'autre. Cette méthode favorise les points rapprochés. Mais on peut définir un alignement autrement, comme le fit Alexander Mebane, par un triangle dont le sommet est proche d'un angle plat, et le plus grand des deux autres angles, inférieur à 1.5° La méthode du couloir et celle de Mebane Équation d'un grand cercle. coordonnées rectangulaires et sphériques d'un point Un grand cercle de la sphère terrestre se définit par son inclinaison sur l'équateur, et par la longitude du noeud, point où il recoupe l'équateur. Comme ce n'est jamais que la section d'une sphère par un plan, on peut le définir par les points qui respectent l'équation de la sphère et l'équation du plan. L'équation d'une sphère est: x²+y²+z²-R² = 0 et celle du plan est: ax+by+cz = 0 Mais pour la sphère on peut remplacer le système (x,y,z) par le système (λ, φ, R), où λ est la longitude, φ la latitude, et R le rayon. On a alors: x = Rcos(φ)sin(λ) y = Rcos(φ)cos(λ) z = Rsin(φ) L'équation de l'intersection du plan et de la sphère est alors: aRcos(φ)sin(λ)+bRcos(φ)cos(λ)+cRsin(φ) = 0 d'où acos(φ)sin(λ)+bcos(φ)cos(λ)+csin(φ) = 0 posons A = -a/c et B = -b/c, il vient -cAcos(φ)sin(λ)-cBcos(φ)cos(λ)+csin(φ) = 0 d'où Acos(φ)sin(λ)-Bcos(φ)cos(λ)+sin(φ) = 0 d'où, en divisant par cos(φ) -Asin(λ)-Bcos(λ)+tan(φ) = 0 et enfin tan(φ) = Asin(λ)+Bcos(λ) qui donne la latitude d'un point de longitude donnée. Détermination des paramètres A et B à partir de 2 points. soit 2 points de coordonnées (λ1, φ1) et (λ2, φ2) Asin(λ1)+Bcos(λ1) = tan(φ1) (1), Asin(λ2)+Bcos(λ2) = tan(φ2) (2) multiplions (2) par cos(λ1)/cos(λ2), il vient Acos(λ1)tan(λ2)+Bcos(λ1) = tan(φ2)cos(λ1)/cos(λ2) (3) soustrayons (3) de (1), il vient Asin(λ1)-Acos(λ1)tan(λ2) = tan(φ1)-tan(φ2)cos(λ1)/cos(λ2) ou A(sin(λ1)-cos(λ1)tan(λ2)) = tan(φ1)-tan(φ2)cos(λ1)/cos(λ2) d'où A = (tan(φ1)-tan(φ2)cos(λ1)/cos(λ2))/(sin(λ1)-cos(λ1)tan(λ2)), multiplions par cos(λ2), il vient A = (tan(φ1)cos(λ2)-tan(φ2)cos(λ1))/(sin(λ1)cos(λ2)-sin(λ2)cos(λ1)) d'où enfin A = (tan(φ1)cos(λ2)-tan(φ2)cos(λ1))/sin(λ1-λ2) On a ensuite B = (tan(φ)-Asin(λ))/cos(λ) dans (1) ou dans (2) inclinaison et pole d'un grand cercle Détermination du noeud et de l'inclinaison. Notons n le noeud, λn sa longitude et i l'inclinaison sur l'équateur. avec φ = 0, on a Asin(λn)+Bcos(λn) = 0, d'où Asin(λn) = -Bcos(λn), d'où tan(λn) = -B/A Comme nous sommes en trigonométrie sphérique, l'inclinaison i est égale à la latitude maximum, qui est celle d'un point éloigné de 90° du noeud. On a donc tan(i) = Asin(λn+90°)+Bcos(λn+90°) Coordonnées du pole nord du grand cercle. λ = λn- 90°, φ = 90°-i Distance de deux points (λ1,φ1),(λ2,φ2) Soit α l'arc joignant ces deux points. α = arccos(sin(φ1)sin(φ2)+cos(φ1)cos(φ2)cos(λ1-λ2)) avec α en radian et R le rayon terrestre: D =Rα. Distance d'un point à un grand cercle. On calcule l'angle α entre ce point et le pole du grand cercle, puis avec α en radian on a D = (π/2-α)R Ajustement par moindres carrés. exemple d'ajustement par moindres carrés Que se passe-t-il quand l'alignement se compose de plus de trois points? On peut toujours utiliser la méthode du couloir défini par ses deux extrémités mais il parait plus intéressant d'utiliser la méthode des moindres carrés, où l'on minimise les carrés des erreurs pour trouver la droite - ou le grand cercle - qui s'ajuste au mieux avec tous les points. On a alors une ligne ajustée qui ne passe plus nécessairement par les points extrèmes. Cette méthode est classiquement utilisée pour ajuster une droite sur la base des résultats de mesure d'un même laboratoire. Mais elle a déja montré sa faiblesse quand il s'agissait d'ajuster des mesures de plusieurs observatoires, quand toutes ces mesures n'avaient pas la même fiabilité. Pour en tenir compte il faut utiliser la méthode des moindres carrés pondérés, où les mesures sont pondérées par leur fiabilité. Dans le cas des observations d'OVNI, supposées authentiques, la fiabilité se résume à l'inverse de l'incertitude sur la localisation. Un atterrissage supposé est bien plus fiable qu'une observation dans le ciel, au point de vue de la localisation. Le problème est que l'incertitude elle même est parfois mésestimée, et l'authenticité du cas aussi. De fait, Chercher à améliorer la précision d'un alignement qui, à l'analyse, n'a jamais existé que dans la tête de son découvreur, n'est jamais que du temps perdu. Cependant la théorie de l'orthoténie globale, où les alignements comportent des observations de différentes dates, nous oblige à étudier des alignements avec de nombreux points, et donc de nous intéresser à la méthode des moindres carrés. C'est ce que va faire Jacques Vallée. Jacques Vallée propose une méthode mathématique. En 1963, jacques Vallée s'intéresse beaucoup à cette théorie prometteuse qu'est l'orthoténie. Il va donc lui donner une allure scientifique. Methods for checking the alignments mathematically   No simple answer can be given immediately to the question of how we can know whether given points on: he surface of the earth are aligned or not. Since the distances between these points amount to as much as 100 kilometres, merely to link up the sightings by means of a straight line drawn with a ruler can produce only very rough indications, sufficient for the discovery of new facts but inadequate for their verification. But no hypothesis is valid if it is unproven. On the other hand, once we begin to deal in distances of the order of 100 kilometres, the problem at once arises of defining what one means by “alignment”. And here once again it is to Aimé Michel that the credit is due for having suggested that the alignments be regarded as local portions of Great Circle lines of the terrestrial globe. This point has now been proved mathematically, and it can be shown that, for example, the Bayonne-Vichy alignment is in actual fact a Great Circle arc.   It is consequently possible to determine with precision whether or not a given sighting belongs to an alignment, and thus to verify the whole body of propositions advanced by those who support the theory of Orthoteny. In order to be able to do this it is, of course, necessary to know the exact co-ordinates (latitude and longitude) of the points where the sightings occurred.   Let L1, and φ1, denote the co-ordinates (longitude and latitude) of the point M1, L2, and φ2, the coordinates of M2. The great circle given by M1 and M2 is defined (Fig. 1) by the quantities:   Longitude of the node (T)=longitude of the point N where the Great Circle intersects the equator.   Inclination (u)=angle at this intersection:   T and u are related by equations of the form: (1) {tan(φ1).cot u = sin(T).cos(L1)—cos(T).sin(L1)      {tan(φ2).cot( u ) = sin(T).cos(L2)—cos(T).sin(L2) From which we derive: (2) (tan(T).cos(L1)—sin(L1)tan(φ2) = (tan(T).cos(L2)—sin(L2)) tan(φ1).   A third observation point M3 will then be said to belong to the same great circle if its co-ordinates (L3, φ3) verify the relation: (3) sin (T-L3)/tan(φ3) = cot(u)   By using these elementary formulae, considered as a first approximation, we have developed a series of checks of the statistical validity of the alignment systems observed, according to Michel, during the French wave of 1954. In the case of the Bayonne-Vichy alignment, to which | give the code designation of BAVIC, the computation of the elements gives:   T = 42°0810 west of Greenwich, u = 55°5413. Computation of the elements of a Great Circle by the Least Squares Method   When a Great Circle is defined by more than three points (and one should not expect a three-point alignment to be "significant") we could merely take for its determination a mean value of T and u. The precision obtained that way is fairly good as far as only interpolation is concerned. But it is not good enough to justify conclusions or hypotheses of any kind concerning the Great Circle at a great distance (for example, more than 1,000 kilometres) from the region where the basic observations were made.   To avoid this difficulty, we have developed a more precise method for the great circle computation. In this new method the elements are computed by least squares, i.e. in such a way as to minimise the sum of the squares of the residual differences between the observed points and the theoretical points. Méthodes de vérification mathématique des alignements.   Il n'existe pas de réponse simple et immédiate à la question de savoir comment déterminer si des points donnés à la surface de la Terre sont alignés ou non. Les distances entre ces points pouvant atteindre 100 kilomètres, le simple fait de relier les observations par une ligne droite tracée à la règle ne peut fournir que des indications très approximatives, suffisantes pour la découverte de faits nouveaux, mais insuffisantes pour leur vérification. Or, aucune hypothèse n'est valable si elle n'est pas prouvée. Par ailleurs, dès lors que l'on considère des distances de l'ordre de 100 kilomètres, se pose immédiatement la question de la définition du terme « alignement ». Et c'est à Aimé Michel que l'on doit, une fois encore, d'avoir suggéré de considérer les alignements comme des portions locales de grands cercles du globe terrestre. Ce point a désormais été démontré mathématiquement, et l'on peut montrer, par exemple, que l'alignement Bayonne-Vichy est en réalité un arc de grand cercle.   Il est donc possible de déterminer avec précision si une observation donnée appartient ou non à un alignement, et ainsi de vérifier l'ensemble des propositions avancées par les partisans de la théorie de l'orthoténie. Pour ce faire, il est bien entendu nécessaire de connaître les coordonnées exactes (latitude et longitude) des points où les observations ont eu lieu.   Soient L1 et φ1 les coordonnées (longitude et latitude) du point M1, L2 et φ2 les coordonnées de M2. Le grand cercle défini par M1 et M2 est défini (Fig. 1) par les quantités suivantes :   Longitude du nœud (T) = longitude du point N où le grand cercle coupe l’équateur.   Inclinaison (u) = angle à cette intersection.   T et u sont liés par des équations de la forme : (1) {tan(φ1) cot(u) = sin(T) cos(L1) – cos(T) sin(L1)      {tan(φ2) cot(u) = sin(T) cos(L2) – cos(T) sin(L2) On en déduit : (2) (tan(T)cos(L1) – sin(L2) tan(φ2) = (tan(T)cos(L2) – sin(L2) tan(φ1).   Un troisième point d'observation M3 appartient alors au même grand cercle si ses coordonnées (L3, φ3) vérifient la relation : (3) sin (T-L3)/tan(φ3) = cot(u)   En utilisant ces formules élémentaires, considérées comme une première approximation, nous avons développé une série de vérifications de la validité statistique des systèmes d'alignement observés, selon Michel, lors de la vague française de 1954. Dans le cas de l'alignement Bayonne-Vichy, auquel je donne la désignation BAVIC, le calcul des éléments donne :   T=42°0810 ouest de Greenwich, u=55°5413. Calcul des éléments d'un grand cercle par la méthode des moindres carrés   Lorsqu'un grand cercle est défini par plus de trois points (et l'on ne saurait considérer un alignement à trois points comme « significatif »), on pourrait se contenter de prendre pour sa détermination une valeur moyenne de T et u. La précision ainsi obtenue est acceptable pour une simple interpolation. Cependant, elle est insuffisante pour justifier des conclusions ou des hypothèses concernant le grand cercle à grande distance (par exemple, plus de 1 000 kilomètres) de la région où les observations initiales ont été effectuées.   Pour pallier cette difficulté, nous avons développé une méthode plus précise pour le calcul du grand cercle. Dans cette nouvelle méthode, les éléments sont calculés par la méthode des moindres carrés, c'est-à-dire de manière à minimiser la somme des carrés des écarts résiduels entre les points observés et les points théoriques. Note: à partir d'ici, les notations mathématiques ne sont plus représentables en HTML. Nous produisons donc une image extraite de l'article original. Considérons la substitution suivante : La relation (1), vérifiée par la longitude et la latitude de n'importe quel point du Grand Cercle, devient : Considérons les quantités suivantes : L'équation (1') dérivée de (1) prend maintenant la forme : La solution sera donc la même que dans le cas classique de l'approximation par les moindres carrés d'une droite. Il est bien connu que la somme des carrés des résidus : sera tel que : si les conditions suivantes sont satisfaites À partir de (7), nous obtenons les relations bien connues : Par conséquent, les expressions de A et B prennent la forme suivante : à partir desquels T et u peuvent être facilement dérivés. Jacques Vallée, Recent development in orthotenic research, FSR vol.9 n°6, nov-déc.1963, p.3)